Inleiding
Ik geloof niet dat er een eenvoudige verhouding bestaat die we als altijd toepasbaar recept voor schoonheid kunnen gebruiken maar tegelijkertijd ben ik van mening dat schoonheid niet louter toeval is maar gedreven wordt door complexe wetten. Inzicht in verhoudingswetten geeft een glimp van deze complexe wetten. In de geschiedenis van de kunsten heeft de gulden snede een zeker status verworven als ideale verhouding. Bij nadere bestudering blijkt deze status eerder gebaseerd op wishfull thinking dan op een werkelijk als ideaal ervaren verhouding. Als de verhoudingen van bekende schilderijen worden geanalyseerd blijkt de gulden snede hier nauwelijks uit naar voren te komen. Leonardo da Vinci leek bijvoorbeeld eerder belang te hechte aan de verhouding 4:3 dan aan de gulden snede. De roem van de gulden snede is veel groter dan zijn toepasbaarheid als instrument voor het ontwerpen van schilderijen. In mijn ontwerppraktijk liep ik hier tegen aan toen ik de gulden snede probeerde toe te passen. Ik wilde een doek maken met een opeenvolgende reeks cirkels die in afmeting met de gulden sneden toenamen maar daarbij bleek dat de gulden snede veel te “snel” gaat. Voor mijn gevoel mistte ik een aantal formaten. Ook een doek in de verhouding van de gulden snede gaf een voor mijn gevoel te langwerpig doek, dat voor sommige werken natuurlijk best kan werken maar naar mijn mening niet als ideaal kon doorgaan.
De ideale reeks van schilderij-kaders
Ik heb de gulden snede dan ook zelden toegepast in mijn werk alhoewel de wiskunde er achter zeker mijn belangstelling had. Mijn kennismaking met een alternatief voor de gulden snede kwam toevallig. Enige tijd geleden stelde ik mij de vraag welke verhoudingen van kaders ik moest aanhouden om alle door mij gewenste composities te kunnen maken. Ik wilde passe partouts laten snijden en om de kosten te drukken wilde ik zo weinig mogelijk laten maken. Aan de ander kant wilde ik me niet laten beperken in de keuze tussen verhoudingen van mijn tekeningen. Anders gezegd: ik wilde composities kunnen maken in kaders met verhoudingen die variëren van ongeveer 1:4 tot en met 4:1 en alles daartussen. Ik wil een maximaal aantal verschillende verhoudingen kunnen kiezen maar met een beperkt aantal passe partouts. De vraag was nu welke verhoudingen passe partouts moest ik laten maken?
Via een omweg kwam ik terecht bij de Nederlandse architect Hans van der Laan die hier over nagedacht heeft. Het beginpunt van de vraagstelling van Van der Laan was iets anders, hij zocht naar verhoudingen van driedimensionale balken en blokken die een heldere perceptie geven. Maar hij zocht ook naar elementen die door ons mensen als duidelijk verschillend worden ervaren. Hij stelde zich de vraag hoe met een beperkt aantal naar verhouding verschillende elementen een maximum aan ervaren verschillen kunt laten ervaren. Precies de vraag die ik mij had gesteld.
Om een antwoord te vinden begon Van der Laan bij de menselijke waarneming. De mens is immers de maatstaf voor hoe architectuur ervaren wordt (niet de wiskundige schoonheid zoals bij de gulden snede). Stel, we hebben vierkanten in 20 verschillende maten. De kleinste is 5 cm, de grootste is 25 cm. Als we ons vervolgens de vraag stellen om deze vierkanten te ordenen dan mag duidelijk zijn dat het niet zonder liniaal mogelijk is om deze van 1 tot 20 te ordenen. In plaats daarvan zullen we groepen maken van vierkanten die in onze ogen ongeveer dezelfde grootte hebben om vervolgens deze groepen in volgorde te ordenen. Van der Laan vroeg zich af wanneer vierkanten in dezelfde afmetingsgroep vallen. Nauwkeurig gesteld was zijn vraag wat de kleinste verhouding tussen een afmeting a en een afmeting b is (waarbij a groter is dan b) waarbij de beide afmetingen in onze ogen niet meer in dezelfde afmetingsgroep vallen. Populair gezegd; wanneer zijn de afmetingen a en b voldoende verschillend om overduidelijk als verschillende afmeting te worden waargenomen.
Hiermee hangt een andere vraag samen. De verzameling van vierkanten die we hiervoor als voorbeeld namen kent afmetingsgroepen maar kent ook een eenheid. Het verschil tussen de grootste en de kleinste is niet zodanig groot dat we deze niet meer tot elkaar kunnen relateren. Als we de verzameling anders samenstellen en het grootste vierkant is bijvoorbeeld 60 cm dan is er voor onze perceptie geen relatie meer tussen de vierkanten van 1 cm en van 60 cm. Als we ons op de laatste richten zal de eerste nagenoeg verdwijnen. Ergens moet er een grens zijn waarbij de afmetingen te veel verschillen en waarbij de vierkanten niet meer door ons ervaren worden als behorende bij dezelfde familie of orde. Ook de vraag waar deze grens ligt laat zich nauwkeurig uitdrukken. We zoeken in dit geval wat de kleinste verhouding tussen een afmeting b en een afmeting a is (waarbij a groter is dan b) waarbij de beide afmetingen in onze ogen voor het eerst niet meer in dezelfde orde van afmetingen vallen. Populair gezegd; wanneer is de afmeting van een vorm zodanig groot dat de kleinere vorm er niet meer toe lijkt te doen.
Beide vragen hebben vooralsnog niets met wiskundig te maken maar enkel met de manier waarop wij mensen waarnemen. Van der Laan heeft beide vragen beantwoord door een aantal experimenten waarbij proefpersonen objecten op basis van afmeting moesten sorteren. Uit deze onderzoeken trok hij de conclusie dat als a minimaal een factor 4/3 groter is dan b deze beide afmetingen door ons niet meer ervaren worden als in dezelfde afmetingsgroep vallend. Als a minimaal 7 maal groter is dan b dan zullen we ervaren dat a en b niet meer bij dezelfde orde of familie horen.
Met name de eerste factor was het antwoord op mijn vraag. Als ik start met een vierkant passe partout dan moet het volgende passe partout een factor 4/3 hoger zijn om duidelijk als afwijkend van dit vierkant te worden ervaren. Het volgende kader moet weer 4/3 hoger zijn en zo verder. Onderstaande afbeelding toont een serie kaders waarbij de kaders die overeenstemmen met deze factor 4/3 blauw zijn weergegeven. De tussenliggende grijze kaders zijn te weinig onderscheiden voor mij om geld voor een passe partout aan uit te geven.
Hiermee was mijn vraag beantwoord. Aangezien ik papier gebruik van 40×50 cm. Uitgaande van 1 cm overlap tussen papier en passpartoe kan ik dus maximaal een tekening van 38×48 maken. Hieruit volgt, uitgaande van de verhouding 4/3, de volgende reeks kaders:
- Vierkant 1:1 – formaat tekening 38×38
- Eerste rechthoek 1:1,33 – formaat 36×48
- Tweede rechthoek 1:1,77 – formaat 27×48
- Derde rechthoek 1:2,35 – formaat 20×48
- Vierde rechthoek 1:3,13 – formaat 15×48
- Vijfde rechthoek 1:4,16 – formaat 11×48
Alhoewel mijn beginvraag hiermee beantwoord was, smaakte dit naar meer. Net als Van der Laan zou ik pas tevreden zijn als deze verhoudingen op enige wijze een wiskundige basis zou krijgen vergelijkbaar met de gulden snede. Van der Laan heeft deze basis gevonden maar om zijn gedachtegang te volgen zal ik beginnen bij de gulden snede.
De gulden snede
Als we een lengte nemen en we delen deze in twee ongelijke stukken dan ontstaan er drie delen; het kleinste deel AC, het grootste deel CB en het geheel AB. Deze drie delen hebben onderling twee verhoudingen: de verhouding tussen het kleine en het grote deel en de verhouding tussen het grote deel en het geheel. De vraag is nu of het mogelijk is om de deling zo uit te voeren dat beide verhoudingen gelijk zijn. We gaan hierbij alleen uit van de verhouding tussen twee opeenvolgende delen, dus niet de verhouding van het kleinste deel en het geheel. Deze kan immers nooit gelijk zijn aan de verhouding tussen het grotere deel en het geheel.
Deze verhouding is redelijk eenvoudig te bepalen. Als we aannemen dat AC=1 en x is de verhouding tussen AC en CB dan is CB gelijk aan x en AB aan x2. AB is echter ook gelijk aan de som van AC en CB zodat geldt x2=x+1. Hieruit kan x opgelost worden en blijkt de waarde 1,618…… te hebben.
Deze waarde kunnen we ook benaderen door getallen uit de lijst van Fibonacci op elkaar te delen. De lijst van Fibonacci ontstaat als we beginnen met twee keer een 1 en vervolgens het volgende getal de optelling laten zijn van de twee voorgaande.
1,1,2,3,5,8,12,20,32,52,….
De gulden snede is bij benadering de deling van twee opeenvolgende getallen uit deze reeks. Des te verder in de reeks we komen, des te nauwkeuriger we de gulden snede benaderen. Deze reeks is ook grafisch weer te geven door te beginnen met een vierkant van 1 bij 1. Door opeenvolgend een vierkant aan de langste zijde toe te voegen ontstaat een rechthoek die steeds nauwkeuriger de gulden snede nadert. De lengte van de elke zijde geeft het getal in de reeks van Fibonacci.
Uit de grafische reeks volgt een benadering die uit gaat van een rechthoek waar we een vierkant van afhalen en waarbij we dan veronderstellen dat we een rechthoek overhouden die dezelfde verhouding heeft als de oorspronkelijke rechthoek. Dit lukt alleen als we beginnen met een rechthoek waarvan de zijden de verhouding van de gulden snede hebben. De formule x2-x-1=0 is hieruit eenvoudig uit af te leiden.
Een andere wijze om wijze om de gulden snede te berekenen gaat uit van reeksen. Als we een reeks opeenvolgende getallen samenstellen kunnen we dit doen door optellen of vermenigvuldigen. Bij vermenigvuldigen nemen we even aan dat ons eerste getal (a) gelijk aan 1 is. Het tweede getal in de reeks (b) is dan de verhouding die we gebruik. De eerste twee getallen zijn dus 1 en b. H volgende getal is b*b en het vierde b*b*b en zo voort. Bij optellen beginnen we met a en b en het volgende getal is in dit geval c=a+b en het vierde getal d=c+b en zo voort. We stapelen elke keer de twee vorige op elkaar om de volgende te krijgen. De vraag die we ons nu kunnen stellen is bij welke verhouding (dus getal b) de reeks door vermenigvuldigen en optellen hetzelfde is. Deze verhouding blijkt onze gulden snede te zijn.
De plastische verhouding
Het plastische getal van Van der Laan blijkt een duidelijke relatie te hebben met de gulden snede. In de kern is de plastische ratio de vertaling van de gulden snede in de driedimensionale ruimte. We beginnen nu daarom niet met een vierkant maar met een kubus van 1x1x1. Ook deze kunnen we opeenvolgende aanvullen met blokken, vergelijkbaar als we dit deden bij de gulden snede.
We eindigen nu niet als limiet figuur bij de gulden rechthoek maar bij de plastische doos waarbij de verhouding tussen de drie zijden in een gelijke verhouding tot elkaar staan. Deze verhouding is wat Van der Laan de plastische ratio heeft genoemd. Ook in dit geval kunnen we dit uitdrukken in een reeks. We kunnen dit eenvoudig afleiden uit bovenstaande figuur. We moeten nu beginnen met drie enen (vergelijkbaar met de kubus) en we moeten om het volgende getal te krijgen niet de direct voorgaande getallen optellen maar we moeten de eerste overslaan. De reeks die dan ontstaat is als volgt:
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, …..
Ook nu is de deling van twee opeenvolgende getallen een benadering van het plastische getal en deze deling nadert steeds nauwkeuriger dit plastische getal. Uit deze reeds zien we al dat deze verhouding in de buurt moet liggen van de 4/3 verhouding waar Van der Laan bij zijn onderzoek op uitkwam.
Zoals we de gulden snede konden bepalen door van een gegeven rechthoek een vierkant af te nemen, zo bestaat er ook een mogelijkheid om op vergelijkbare wijze op de plastische ratio uit te komen. Deze volgt uit de ruimtelijke stapeling die hierboven is weergegeven. In dit geval gaan we uit van een rechthoek waar we een rechthoek van afhalen die dezelfde verhouding heeft. Daar nemen we vervolgens een vierkant van af. De eis die we nu stellen is dat de rechthoek die we overhouden een gelijke verhouding heeft als de oorspronkelijke rechthoek. Uit deze figuur laat zich de formule voor de plastische ratio afleiden die ook sterk lijkt op de forumele voor de gulden snede. In dit geval wordt de waarde berekend uit de formule x3-x-1=0 hetgeen een nauwkeurige waarde geeft van 1,324717958…..
Alhoewel de plastische verhouding een vertaling van de gulden snede in drie dimensies is, kunnen we de plastische constante ook in twee dimensies vertalen. De drie enen waar we mee starten vertalen we in dit geval niet in een kubus maar in een gelijkzijdige driehoek. Door aan elke zijde opeenvolgende driehoeken toe te voegen zien we wederom een reeks getallen ontstaan die gelijk is aan de eerder getoonde reeks en die dus de plastische verhouding in zich heeft.
Bij de gulden snede leidde deze constructie die start bij een vierkant tot de gulden rechthoek. Bij de plastische ratio ontstaat in 3D de plastische doos maar in het platte vlak ontstaat het plastische pentagon. Als we de reeks voldoende ver doorzetten ontstaat een pentagon waarbij de zijden toenemen met de plastische ratio. De hoeken van 120 en 60 graden volgen uit de hoek van de driehoeken die we als startpunt hebben gebruikt.
Het meest fascinerende eigenschap doet zich voor als we naar de reeksopbouw kijken met optellen en vermenigvuldigen. Deze blijkt zich veel verder door te zetten als bij de gulden snede. Zoals we zagen krijgen we de gulden snede als we ons afvragen wanneer een reeks opgebouwd door vermenigvuldigen en optellen dezelfde uitkomst geeft. Ons startpunt in dat geval waren twee blokken in een zekere verhouding, a en b. Laten we ons eens afvragen wat er gebeurt als we dit zelfde proberen met niet twee maar met drie blokken. We nemen a, b en c die onderling in gelijke verhouding staan en we gebruiken a en b om ons nieuwe blok d te maken dat natuurlijk ook in dezelfde verhouding moet staan met c. Het zal u niet verbazen dat we in dit geval als we voor a een blok van 1 nemen voor b (dat is de verhouding tussen de opeenvolgende blokken) op het plastische getal uitkomen.
Bij de gulden snede konden we met het blok a en b nog het derde blok c samenstellen maar deze optelling zette zich niet verder door. Om blok d te maken zouden we moeten zagen. Bij het plastische getal kunnen we verder stapelen. Met drie blokken a, b en c kunnen we zonder zagen simpelweg door stapeling de volgende drie blokken d, e en f samenstellen. Zoals we bij de wiskundige reeks hebben gezin is elk blok een optelling van voorgaande blokken waarbij we de eerste overslaan. Blok d is een optelling van a en b, blok e een optelling van b en c en blok f een optelling van c en d. Er is vanuit onze drie beginblokken nog een extra mogelijkheid bijgekomen, namelijk de optelling van alle drie de blokken, a+b+c. We zouden ons geluk onwaarschijnlijk moeten oprekken om te mogen veronderstellen dat de reeks blokken met de plastische verhouding zou resulteren in de vaststelling dat deze extra optelling van a, b en c gelijk is aan de lengte van f. Het onwaarschijnlijke en misschien wel meest fascinerende is dat de plastische verhouding hier wel aan voldoet en dat blok f zowel gelijk is aan e*b, en aan c+d en aan a+b+c. De eerste zes blokken in onze reeks vertegenwoordigen een oplopende reek in dezelfde verhouding en bevatten de maximale optellingen die we vanuit drie blokken kunnen samenstellen.
Voor wie dit eigenschap op deze wijze nog niet inzichtelijk genoeg is, verwijs ik naar dit filmpje:
Conclusie
Dat het plastisch getal een fascinerend gegeven is, dat mag wel duidelijk zijn maar is deze verhouding ook toepasbaar als ontwerpinstrument. Van der Laan zelf heeft hier al een antwoord op gegeven door vele gebouwen te ontwerpen waarin deze verhouding is gebruikt voor alle onderlinge elementen. Ik zelf heb al een soort van antwoord gegeven door deze verhouding toe te passen voor de reeks kaders voor mijn schilderijen. Naar mijn mening biedt het plastische getal een aantal voordelen ten opzichte van de gulden snede die deze een grotere toepasbaarheid geeft. Ten eerste heeft het plastische getal een relatie met onze ervaring van verhoudingen. Het drukt de minimale verhouding uit tussen twee vormen waarbij wij een duidelijk verschil in afmeting ervaren. Ten tweede is het een veel tragere verhouding, het biedt ons als ontwerper en kunstenaar kleinere stappen en daarmee een grotere mogelijkheid tot nuance. Ten derde heeft het plastische getal het voordeel dat het zowel een toepassing in drie als in twee dimensies heeft. Ten vierde geeft het plastische getal een uitgebreidere mogelijkheid om vormen die in dezelfde verhouding tot elkaar staan, ook als optelling bij elkaar te plaatsen. Bij deze voordelen levert het plastische getal niet in wat wiskundige fundering betreft. Ik zal het plastische getal niet de ideale verhouding willen noemen en ook niet willen beweren dat de gulden snede geen waardevolle toepassing meer kan hebben naast dit plastische getal, wat ik we durf te stellen is dat de toepasbaarheid van het plastische getal in ontwerpen vele malen groter is en beter aansluit bij de menselijke ervaring.